Introducción a las ecuaciones diferenciales. Teoría y ejemplos resueltos

junio 28, 2019

Introducción a las ecuaciones diferenciales. Teoría y ejemplos resueltos

DEFINICIÓN

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

La variable independiente (v. i) es x

La variable dependiente (v. d) es y

Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:

La variable independiente (v. i) es "x" y "y"

La variable dependiente (v. d) es V

1.2) ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.

Ejemplo

1.3) GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

Ejemplos

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.

Solución de una ecuación diferencial

Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.

2.1) FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas.

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial.

Verificación

Observación: Al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la ecuación diferencial.

2.2) PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Ejemplo ilustrativo

Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5)

Solución:

2.3) DESCRIPCIÓN DE UNA FAMILIA DE CURVAS

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

3.1) ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

Resolución.

Soluciones Particulares

Graficando en Graph

Comprobación

3.2) ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente, en caso contrario es No Homogénea.

Ejemplos:

Ejemplo ilustrativo

Resolver la ecuación:

Resolución:

En una ecuación diferencial homogénea se realiza el cambio

Integrando

Graficando para un valor arbitrario C = 1

3.3) ECUACIONES EXACTAS

Resolver la ecuación

Resolución

Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplir la condición

Como cumple la condición se trata de una ecuación diferencial exacta

Se Iguala las dos derivadas con respecto a y.

Graficando la solución de la ecuación diferencial para C = 1

3.4) ECUACIONES CON FACTORES INTEGRANTES

Una vez obtenida la nueva expresión se puede resolver la ecuación mediante los procedimientos para ecuaciones diferenciales exactas

Para obtener los factores de integración se pueden emplear las siguientes reglas:

Ejemplo ilustrativo: Resolver la siguiente ecuación diferencial

Solución

Se debe verificar si la ecuación diferencial es exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son:

Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es exacta.

Como la diferencias entre las 2 derivadas cruzadas dividida para N es una función de "x" se aplica:

Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración "x" se tiene una ecuación diferencial equivalente

Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la nueva ecuación diferencial es exacta.

Como la nueva ecuación diferencial es exacta se procede a resolverla como en casos anteriores. Esta solución queda como tarea para el lector.

3.5) ECUACIONES LINEALES

Resolver las siguientes ecuaciones lineales

Solución

Es una ecuación lineal en "y"

Como la solución es

Graficando para un valor arbitrario de C = 1

Es una ecuación lineal en "x"

Como la solución es

Propiedad conmutativa en los exponentes

Graficando para un valor arbitrario de C = 1

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma

4.1) LA SOLUCIÓN GENERAL COMO COMBINACIÓN LINEAL DE SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Definición de independencia lineal

Ejemplos:

Proceso de solución

Ejemplo ilustrativo

Resolver la ecuación diferencial

Solución:

Que son las soluciones particulares de la ecuación diferencial

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es

Para comprobar la respuesta, se deriva la función, para lo cual en GeoGebra

a) Al escribir Derivada en Entrada se despliega algunas opciones.

b) Se escoge la opción Derivada[(Función)]

c) Escribir f(x)

d) Enter. Clic en la círculo de g(x) para que se borre la gráfica de g(x).

Para calcular la segunda derivada de f(x), se deriva g(x) y se obtiene

Como se quería comprobar

4.2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma:

Como se observa la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la fórmula general

Por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos.

1) Primer caso: raíces reales y diferentes

Ejemplo 1

Resolver la ecuación diferencial

Solución:

Ejemplo 2

Resolver la ecuación

Solución

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es

Resolviendo el sistema

Remplazando los valores encontrados en la solución general, se obtiene la solución particular

Graficando la solución particular se tiene

2) Segundo Caso: Soluciones reales e iguales

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

Solución:

3) Tercer caso: raíces complejas

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

Solución:

4.3) ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término F(x) variable es de la forma

Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes

Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de los coeficientes indeterminados.

Ejemplos:

Ejemplos ilustrativos

Hallar la solución general de

Solución:

Resolviendo la ecuación auxiliar

La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,

Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces

Ecuaciones diferenciales de orden superior

5.1) ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

Principio de Superposición o linealidad

También es solución de dicha ecuación diferencial

Dependencia e Independencia lineal

En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes.

Wronskiano

Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.