Concepto y Aplicaciones de la Aritmética
ReResolución de inecuaciones
Que es la Aritmetica?
La Aritmetica es una rama de las matematicas que se encarga de estudiar las estrucutras númericas elementales, asi como las propiedades de las operaciones y los números en si mismos en su concepto mas profundo, construyendo lo que se conoce como teoria de números.
Para ti es mas sencillo encontrar la aritmetica dentro de tu vida cuando:
- vas a la tienda a comprar algo, y te ves en la necesidad de calcular por medio de una resta, el cambio que dara el tendero.
- cuando estas a punto de a abordar el servicio publico y cuantas rapidamente la cantidad de dinero necesaria para pagar el valor del pasaje.
- tambien cuando haces la cuenta o inventario de tus cosas.
¿Que son los Numeros Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a · 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
¿Que son los Numeros Enteros?
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:
• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.
Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:
• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:
• 7 + 11 = 18
• -7 - 11 = -18
• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
• -7 + 5 = - (7 - 5) = -2
• 14 + (-14) = 0
• 7 + 11 = 18
• -7 - 11 = -18
• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
• -7 + 5 = - (7 - 5) = -2
• 14 + (-14) = 0
La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo:
+ · + = +
+ · - = -
- · + = -
- · - = +
+ · - = -
- · + = -
- · - = +
La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a · b = b · a
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,
a · 1 = a
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a · b = b · a
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,
a · 1 = a
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:
a - b = a + (-b)
Por ejemplo:
5 - (-3) = 5 + 3 = 8
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7
¿Que son los Numeros Fraccionarios?
Los Numeros Fracciónarios , son el cociente indicadoa/b de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0.
Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres quintas partes”.
Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero:
14/2=7; -15/3=-5; 352/11= 32
Dos fracciones a/b y a'/b' son equivalentes, y se expresa
a/b = a'/b'
si a · b′ = b · a′.
si a · b′ = b · a′.
Así,
21/28= 9/12
porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.
porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.
Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido:
a/b=a.d'/b.d'=a'/b'
a/b=a.d'/b.d'=a'/b'
Por ejemplo:
120/90= 12/9
120/90= 12/9
La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus términos por 10
Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí.
La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:
12/= 4/3
12/= 4/3
Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador.
Por ejemplo, para reducira común denominador las fracciones
2/3, 4/9 y 3/5
se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene:
2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90
Es decir,
es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90.
es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90.
Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene
30/45, 20/45, 27/445
que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.
Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo:
2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45
2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:
a/b * c/d = a*c/b*d
a/b * c/d = a*c/b*d
La inversa de una fracción a/b es otra fracción,b/a , que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1:
a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:
a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p
a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p
¿Que son los Numeros Decimales?
Número decimal, cualquier número fraccionario expresado en el sistema de numeración decimal. Así, los números 7,84; 0,005; -2,8464646…; 3,141592… se dice que son decimales.
El concepto de valores posicionales, que es fundamental para expresar los números enteros mediante la notación arábiga en una base de numeración cualquiera, puede extenderse para incluir los números fraccionarios. Si la base de numeración es 10, las distintas cifras de un número entero significan su valor multiplicado por una potencia positiva de 10:
3.586 = 3 · 10 ^3 + 5 · 10 ^2 + 8 · 10 ^1 + 6 · 100
Para incluir los números con partes fraccionarias hay que incluir cifras con sus valores multiplicados por potencias negativas de 10. Esta cifras se sitúan a la derecha de la de las unidades separadas de ésta por una coma:
127,546=1*10 ^2+2*10 ^1+7*10 ^0+5*10 ^-1+4*10 ^-2+6*10 ^-3=
1*100+2*10+7+5*1/10+4*1/100+6*1/1000
La unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas,…, millonésimas.
Si un número decimal tiene un número finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto y se corresponde con una fracción irreducible cuyo denominador descompuesto en factores primos sólo tenga los factores 2 y 5.
Por ejemplo:
5,42=542/100
5,42=542/100
Por ser el denominador una potencia de 10 sólo tiene factores 2 y 5, y al reducir la fracción sólo quedan estos factores.
Hay decimales con un número infinito de cifras que se repiten periódicamente. Se llaman decimales periódicos y se obtienen a partir de fracciones irreducibles cuyo denominador tenga algún factor que no sea 2 ni 5.
Por ejemplo:
3,4222.......=3,42=154/45
3,4222.......=3,42=154/45
Por último, existen números decimales con infinitas cifras que no se repiten periódicamente. No corresponden a ninguna fracción y, por tanto, son números irracionales. Es el caso de
pi = 3,141592…
raiz cuadrada de 2 = 1,41424…
Los números decimales pueden ser representados sobre la recta real: si tienen un número finito de cifras se pueden situar de manera teóricamente exacta; si sus cifras son infinitas, se pueden situar con tanta aproximación como se desee.
¿Que es Razon y Proporcion?
Proporción, en aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número p
or el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee “12 es a 3 como 8 es a 2”. En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética está basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción continua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2:4::4:8 y 4:8::8:16.
or el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee “12 es a 3 como 8 es a 2”. En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética está basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción continua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2:4::4:8 y 4:8::8:16.
En la antigua Grecia, la teoría de números no era adecuada para describir aritméticamente las magnitudes geométricas. Por tanto, el astrónomo y matemático griego Eudoxo propuso una teoría separada para la proporción geométrica en el siglo IV a. C. Una descripción detallada de esta teoría, escrita por el matemático griego Euclides, se puede encontrar en los libros quinto y sexto de los Elementos de geometría.
¿Que es la Potenciacion?
Potencia (matemáticas), producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un número, letra o expresión algebraica por sí misma.
En la potencia a ^n, a es la base y n el exponente
Potencia de Exponente Naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica
Si el exponente es un número entero mayor que 1, se define:
a ^n = a ·…· a (n factores)
En especial, a ^1 = a.
Las propiedades de las potencias de exponente natural son las siguientes:
1. a ^m · a ^n = a ^(m + n)
Por ejemplo, 5 ^2 · 5 ^4 = 5 ^6
2. (a · b) ^n = a ^n · b ^n
Por ejemplo, (2 · 5) ^3 = 2 ^3 · 5 ^3
3. (a ^m) ^n = a ^(m · n)
Por ejemplo, (3 ^2) ^5 = 3 ^10
4. Si m > n,
a ^m/a ^n=a ^m-n
Por ejemplo, 5 ^6/5 ^2=5 ^4
Si m < n,
a ^m/a ^n=a ^m-n
Por ejemplo, 5 ^6/5 ^2=1/5 ^4
5. (a/b) ^n = a ^/b ^
Por ejemplo, (7/2) ^ n = 7 ^n / 2 ^n
Si n >0, se define
a ^-n = 1/ a ^n
a ^-n = 1/ a ^n
Por ejemplo, 10 ^ -3 = 1/10 ^ -3
Para n = 0, a ^0 = 1; por ejemplo, 17 ^0 = 1.
Las propiedades de las potencias de exponente entero son las mismas que las de exponente natural. Es decir, aunque el exponente sea un entero negativo, las propiedades siguen siendo las mismas. Sólo la propiedad 4 se puede poner de forma más sencilla y general:
4. Si m y n son dos números enteros cualesquiera, y a ≠ 0,
a ^m /a ^n = a ^m-n
a ^m /a ^n = a ^m-n
Por ejemplo, a ^ -3 / a ^5= a ^ -3-5=a ^ - 8 =1 / a ^8
Si m y n son enteros, n ≥ 2, se define
Por ejemplo,
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